如圖，正三棱錐ABC—A1B1C1中，底面邊長為a,側(cè)棱長為，若經(jīng)過對角線AB1且與對角線BC1平行的平面交上底面于DB1.

(1)試確定D點的位置，并證明你的結(jié)論；

(2)求平面AB1D與側(cè)面AB1所成的角及平面AB1D與底面所成的角；

(3)求A1到平面AB1D的距離.

解析：(1)D為A1C1的中點，連結(jié)A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點，DE為平面AB1D與平面A1BC1的交線，?

∵BC1∥平面AB1D，BC1∥DE,?

∴D為A1C1的中點.?

(2)過D作DF⊥A1B1于F，由正三棱錐的性質(zhì),AA1⊥DF,∴DF⊥平面AB1.?

連結(jié)DG，則∠DGF為平面AB1D與側(cè)面AB1所成的角的平面角，可求得DF=a.?

由△B1FG≌△B1AA1，得FG=a.?

∴∠DGF=.?

∵D為A1C1的中點，∴B1D⊥A1C1.?

由正三棱錐的性質(zhì)，AA1⊥B1D.?

∴B1D⊥平面A1C.∴B1D⊥AD.?

∴∠A1DA是平面AB1D與上底面所成的角的平面角，可求得tan∠A1DA=,?

∴∠A1DA=arctan.?

(3)過A1作A1M⊥AD，∵B1D⊥平面A1C，∴B1D⊥A1M.∴A1M⊥平面AB1D，即A1M是A1到平面AB1D的距離.AD=a,∴A1M=a.

練習冊系列答案
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2
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MC1
是平面ABB1A1的一個法向量；
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2
．
（I）求證：PA1⊥B1C1；
（II）求證：PB1∥平面AC1D；
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（I）求證：是平面ABB1A1的一個法向量；
（II）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角．

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