Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，求a的值；
（2）在（1）的條件下，對任意t∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區(qū)間（t，3）總存在極值，求m的取值范圍；
（3）若a=2，對于函數(shù)h（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3在[1，e]上至少存在一個x₀使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求實數(shù)P的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由題意即得f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2．
（2）根據(jù)函數(shù)極值的定義結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點，列出不等式求解即得結(jié)論；
（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）=h（x）-f（x）=px-

p+2e

x

-2lnx，由題意得F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，只要pe-

p

e

-4＞0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
∴f′（x）=

a

x

-a，∵函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，
∴f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2．
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=2-

2

x

，
∴g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間（t，3）總存在極值，
∴

g′(2)＜0 g′(3)＞0

 解得-

37

3

＜m＜-9．
（3）由a=2得f（x）=2lnx-2x-3，令F（x）=h（x）-f（x）=px-

p+2e

x

-2lnx，則F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
①若p≤0，由于px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0，故F（x）＜0，所以不存在x₀使得h（x₀）＞f（x₀）；
②若p＞0，此時F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

＞0，所以F（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，只要pe-

p

e

-4＞0即可，解得p＞

4e

e2-1

，
即p∈（

4e

e2-1

，+∞）．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值，掌握不等式成立時所取的條件，能夠?qū)⑵涞葍r轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決，邏輯能力強，屬難題．