Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其右準(zhǔn)線上l上存在點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上方），使△AF₁F₂為等腰三角形．
（1）求離心率e的范圍；
（2）若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為，求△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意有．設(shè)，由△AF₁F₂為等腰三角形，則只能是F₁F₂=F₂A，又，由此能得到離心率e的范圍．
（2）由題意得橢圓的方程為，其離心率為，此時(shí)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得，設(shè)內(nèi)切圓的圓心B（x₁，y₁），，，
因?yàn)椤鰽F₁F₂為等腰三角形，所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心點(diǎn)B到AF₁的距離等于點(diǎn)B到x軸的距離，由此能求出△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程．
解答：解：（1）由題意有．（2分）
設(shè)，由△AF₁F₂為等腰三角形，則只能是F₁F₂=F₂A，又，
即，所以．（6分）
（2）由題意得橢圓的方程為，其離心率為，此時(shí)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得．（10分）
設(shè)內(nèi)切圓的圓心B（x₁，y₁），，，
因?yàn)椤鰽F₁F₂為等腰三角形，所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心點(diǎn)B到AF₁的距離等于點(diǎn)B到x軸的距離，即，①
由點(diǎn)B在直線BF₂上，所以，②
由①②可得
所以△AF₁F₂的內(nèi)切圓的方程為．（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，在解題時(shí)亦可先用面積求出半徑，再求圓的方程．