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7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45°,AP=AD=AC=2,E、F、H分別為PA、CD、PF的中點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)面PAB∩面PCD=l,求證:CD∥l;
(Ⅱ)求證:AH⊥面EDC.

分析 (Ⅰ)由已知可證DC⊥BC,又AB⊥BC,可得AB∥CD,根據(jù)線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理即可證明CD∥l;
(Ⅱ)連接AF,EH,連接EF交AH與G,利用CD⊥AF,CD⊥PA,可證CD⊥平面PAF,從而證明CD⊥AH.在△PAF中,通過證明AG2+GF2=AF2,可證得AH⊥EF,即可證明AH⊥平面EDC.

解答 (本題滿分為12分)
證明:(Ⅰ)在四邊形ABCD中,∵AC⊥AD,AD=AC=2

∴∠ACD=45°,
∵∠BCA=45°,∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=90°,DC⊥BC,
又∵AB⊥BC,∴AB∥CD,…2分
∵CD?面PAB,AB?面PAB,
∴CD∥面PAB,…4分
∵CD?面PCD,面PAB∩面PCD=l,
∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)得CD∥l.…6分
(Ⅱ)連接AF,EH,連接EF交AH與G,
∵F為CD的中點(diǎn),AD=AC,∴CD⊥A
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴CD⊥PA,
∵PA∩AF=A,∴CD⊥平面PAF,
∵AH?平面PAF,
∴CD⊥AH.…8分
如圖,在△PAF中,∵AC⊥AD,AD=AC=2,∴CD=22
∵F為CD的中點(diǎn),∴AF=12CD=2,
∵PA⊥平面ABCD,AF?平面ABCD,∴PA⊥AF.
∵E為PA的中點(diǎn),∴AE=1,∴EF=AE2+AF2=3,
∵E,H為PA,PF的中點(diǎn),∴EH∥AF,EH=12AF=22,
∴EH⊥PA,∴AH=AE2+EH2=62
∵EH∥AF,∴△EHG∽△FAG,
HGAG=EGGF=EHAF=12,∴AG=23AH=63,GF=23EF=233,
∴AG2+GF2=AF2
∴AG⊥GF,即AH⊥EF,…11分
∵EF∩CD=F,
∴AH⊥平面EDC.…12分

點(diǎn)評 本小題主要考查線面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,屬于中檔題.

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