直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)雙曲線C的右焦點(diǎn)F,是否存在實(shí)數(shù)k,使得以AF⊥BF?若存在,求出k的值.若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x
2-y
2=1后,整理得(k
2-2)x
2+2kx+2=0.…①(2分)
依題意,直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn),則
k
2-2≠0,△=(2k)
2-8(k
2-2)>0,
解得k的取值范圍為-2<k<2.(4分)
(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),則由①得
,
.…②(6分)
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以AF⊥BF得(x
1-c)(x
2-c)+y
1y
2=0. (7分)
既(x
1-c)(x
2-c)+(kx
1+1)(kx
2+1)=0.
整理得(k
2+1)x
1x
2+(k-c)(x
1+x
2)+c
2+1=0.…③(8分)
把②式及
代入③式化簡(jiǎn)得
.
解得
或k=
(10分)
存在實(shí)數(shù)
或k=
,使得以AF⊥BF
分析:(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x
2-y
2=1后,由題意知 k
2-2≠0,△=(2k)
2-8(k
2-2)>0,由此可知實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),由題意 AF⊥BF為(k
2+1)x
1x
2+(k-c)(x
1+x
2)+c
2+1=0利用韋達(dá)定理列出關(guān)于k的方程,可求出k的值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系,及其綜合應(yīng)用能力.