Question

如圖所示，ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，AD=PD=2EA，F(xiàn)，G，H分別為PB，EB，PC的中點．
（Ⅰ）求證：平面FGH∥平面PED
（Ⅱ）求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由三角形的中位線定理得到線線平行，然后直接利用線面平行的判定定理得到線面平行；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角與二面角相等或互補(bǔ)，由兩個平面法向量所成的角求解二面角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：因為F，G分別為PB，BE的中點，所以FG∥PE．
又FG?平面PED，PE?平面PED，所以FG∥平面PED．
同理FH∥BC，
∵AD∥BC，
∴FH∥AD，
∵FH?平面PED，AD?平面PED，
∴FH∥平面PED，
∵FG∩FH=F，
∴平面FGH∥平面PED；
（Ⅱ）解：∵EA⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．
又∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∵AD=PD=2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．
∵F，G，H分別為PB，EB，PC的中點，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1）．
∴

GF

=（-1，0，0.5），

GH

=（-2，0，0.5），
設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面FGH的一個法向量，則

-x+0.5z=0 -2x+0.5z=0

，
再令y₁=1，得

n1

=（0，1，0）．
同理可得平面PBC的一個法向量為

n2

=（0，1，1），
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2

2

．
∴平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了線線角和面面角，訓(xùn)練了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此類問題的關(guān)鍵是正確建系，準(zhǔn)確求用到的點的坐標(biāo)，此題是中檔題．