Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）若a＜0且b=2-a，試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)?b∈[-2，-1]，總?x∈（1，e）使得f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得f′（x），通過(guò)對(duì)a分類(lèi)討論即可得出其單調(diào)性；
（2）由題意知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax²-x-lnx＜0在（1，e）內(nèi)有解，即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）內(nèi)有解，故只需a＜(

lnx+x

x2

)max即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=2ax+(2-a)-

1

x

=

2ax2+(2-a)x-1

x

=

(ax+1)(2x-1)

x

（x∈（0，+∞）），
令f′（x）=0，解得 x=-

1

a

或x=

1

2

①當(dāng)-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2時(shí)，
令f′（x）＞0，解得-

1

a

＜x＜

1

2

，
故f（x）的增區(qū)間為(-

1

a

，

1

2

)，減區(qū)間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)；
②當(dāng)-

1

a

=

1

2

，即a=-2時(shí)，則f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)-

1

a

＞

1

2

，即a＞-2時(shí)，
令f′（x）＞0，解得

1

2

＜x＜-

1

a

，
故f（x）的增區(qū)間為(

1

2

，-

1

a

)，減區(qū)間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)；
（2）對(duì)?b∈[-2，-1]，都?x∈（1，e）ax²+bx-lnx＜0成立，
即ax²-x-lnx＜0在（1，e）內(nèi)有解，亦即a＜

lnx+x

x2

在（1，e）內(nèi)有解，
故只需a＜(

lnx+x

x2

)max即可，
令g(x)=

lnx+x

x2

，則g′(x)=

-x(x-1+2lnx)

x4

∵x∈（1，e）∴g′（x）＜0
∴a＜g（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問(wèn)題的研究，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．