已知F(-2,0),以F為圓心的圓,半徑為r,點(diǎn)A(2,0)是一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和直線FP相交于點(diǎn)Q.在下列條件下,求點(diǎn)Q的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.
(1)r=1時(shí),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng);
(2)r=9時(shí),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).
分析:(1)由題意得QA=QP,則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1,即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)F、A的距離差的絕對(duì)值為定值,根據(jù)雙曲線的定義,可得點(diǎn)Q的軌跡是:以F,A為焦點(diǎn),F(xiàn)A為焦距長(zhǎng)的雙曲線.
(2)由題意QA=QP,F(xiàn)P=FQ+QP=r=9,所以FQ+QA=9.故曲線是以A、F為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓,由此能求出曲線的方程.
解答:解:(1)當(dāng)r=1時(shí),
∵A為⊙F外一定點(diǎn),P為⊙F上一動(dòng)點(diǎn)
線段AP的垂直平分線交直線FP于點(diǎn)Q,
則QA=QP,則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1,
即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)F、A的距離差的絕對(duì)值為定值,
根據(jù)雙曲線的定義,可得點(diǎn)Q的軌跡是:以F,A為焦點(diǎn),F(xiàn)A為焦距長(zhǎng)的雙曲線,
故2a=1,2c=4,⇒a=
1
2
,c=2,b=
15
2

故方程為:4x2-
4y2
15
=1(x>0)
,是雙曲線;
(2)當(dāng)r=9時(shí),
由題意:QA=QP,F(xiàn)P=FQ+QP=r=9,
所以FQ+QA=9.
故曲線是以A、F為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓,
其2a=9,2c=4,⇒a=
9
2
,c=2,b=
65
2

方程為:
4x2
81
+
4y2
65
=1
,是橢圓.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查橢圓的定義、雙曲線的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.熟練掌握雙曲線、橢圓的定義及圓與直線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•濰坊二模)如圖,已知F(2,0)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知F(-2,0),以F為圓心的圓,半徑為r,點(diǎn)A(2,0)是一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和直線FP相交于點(diǎn)Q.在下列條件下,求點(diǎn)Q的軌跡方程,并說(shuō)明軌跡是什么曲線.
(1)r=1時(shí),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng);
(2)r=9時(shí),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知F(2,0)為橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知F(2,0)為橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn),AB為橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D,且∠CAD=90°.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q.若存在一定點(diǎn)E(m,0),使得x軸上的任意一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、F)到直線EP、EQ的距離相等,求m的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹