Question

已知圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），圓心C到直線AB的距離為

10

，求圓C的方程．

Answer 1

分析：解法I：設圓心C（a，b），半徑為r，圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），圓心C到直線AB的距離為

10

，由垂徑定理可得，圓心與直線AB的中點M的連線長度為

10

，且與AB垂直，由此建立關于a，b，r的方程組，進而得到圓C的方程．
解法II：由已知中圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），我們由垂徑定理得到C點在AB的中垂線上，可設C點坐標為C（3b-1，b），進而根據(jù)圓心C到直線AB的距離為

10

，構造方程求出b值，進而求出圓的半徑，得到圓C的方程．

解答：解：法Ⅰ：設圓心C（a，b），半徑為r
易見線段AB的中點為M（2，1）…（2分）
∵CM⊥AB，kAB=

-2-4

3-1

=-3
∴kCM=

b-1

a-2

=

1

3

即：3b=a+1①…（5分）
又∵|CM|=

10

∴（a-2）²+（b-1）²=10②…（8分）
聯(lián)立①②得

a=-1 b=0

或

a=5 b=2

即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）
∴r²=|CA|²=20
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）
法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，-2）
∴直線AB的方程為：3x+y-7=0…（2分）
∵線段AB的中點為M（2，1）
∴圓心C落在直線AB的中垂線：x-3y+1=0上．…（4分）
不妨設C（3b-1，b）…（5分）
∴

|3(3b-1)+b-7|

32+12

=

10

…（8分）
解得b=0或b=2
即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）∴r²=|CA|²=20
故圓的方程為：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，其中根據(jù)圓C經(jīng)過點A（1，4）、B（3，-2），得到圓心在AB的中垂線上，是解答本題的關鍵．