Question

6．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），過點$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$和點B（0，-1）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)直線y=x+m與橢圓G相交于不同的兩點M，N，是否存在實數(shù)m，使得|BM|=|BN|？若存在，求出實數(shù)m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得b，把點的坐標(biāo)代入橢圓方程求得a，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m滿足題設(shè)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式大于0求得m的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系求得MN的中點P坐標(biāo)，進(jìn)一步求得PB的斜率結(jié)合|BM|=|BN|，可得BP⊥MN．由斜率的關(guān)系列式求得m值，說明不存在這樣的實數(shù)m，使得|BM|=|BN|．

解答 解：（1）橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），過點$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$和點B（0，-1），
∴b=1，由$\frac{1}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）}^2}}}{1}=1$，得a²=3．
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）假設(shè)存在實數(shù)m滿足題設(shè)，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1.\end{array}\right.$得4x²+6mx+3（m²-1）=0．
∵直線與橢圓有兩個交點，∴△=36m²-48（m²-1）＞0，即m²＜4，…①
設(shè)MN的中點為P（x_p，y_p），x_M，x_N分別為點M，N的橫坐標(biāo)，
則${x_p}=\frac{{{x_M}+{x_N}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，從而${y_p}={x_p}+m=\frac{m}{4}$，
∴${k_{BP}}=\frac{{{y_p}+1}}{x_p}=-\frac{m+4}{3m}$．
∵|BM|=|BN|，
∴BP⊥MN．
∴k_BP•k_MN=-1，而k_MN=1．
∴$-\frac{m+4}{3m}=-1$，即m=2，與①矛盾．
因此，不存在這樣的實數(shù)m，使得|BM|=|BN|．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．