Question

已知函數(shù)．
（I）求f（x）的極值；
（II）若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[1，2]使成立，求a的取值范圍；
（III）已知．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，即k-lnx=0，∴x=e^k，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜e^k；令f′（x）＜0，可得x＞e^k；
∴函數(shù)在（0，e^k）上單調(diào)增，在（e^k，+∞）上單調(diào)減
∴函數(shù)f（x）在x=e^k處取得極大值為f（e^k）=e^-k．
（II）解：∵
∴
若，即x₁∈（1，+∞）時，在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴?x₂∈[1，2]使成立，等價于?x₁∈（1，+∞），使得，∴a＞1；
若，即x₁∈（0，1]時，，在時，取得最小值為
∴?x₂∈[1，2]使成立，等價于?x₁∈（0，1]，使得，∴a＞0；
綜上知，a＞0
（III）證明：∵x₁＞0，x₂＞0，且x₁+x₂＜e，
∴（x₁+x₂）（）=2+≥2+2=4＞0，
兩式相乘，化簡得x₁+x₂＞x₁x₂，
∴
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（II）分離參數(shù)可得，再分類討論，求出右邊的最小值，即可求得a的取值范圍；
（III）只需要證明x₁+x₂＞x₁x₂，即可證得
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查存在性問題，考查不等式的證明，難度較大．