Question

一橢圓其中心在原點，焦點在同一坐標軸上，焦距為2

13

，一雙曲線和這橢圓有公共焦點，且雙曲線的半實軸比橢圓的長半軸長小4，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比為7：3，求橢圓和雙曲線的方程．

Answer 1

分析：首先根據焦點分別在x軸、y軸上進行分類，不妨先設焦點在x軸上的橢圓、雙曲線的標準方程，然后根據題意與橢圓、雙曲線的性質列方程組，再解方程組求得焦點在x軸上的橢圓、雙曲線的標準方程，最后把焦點在y軸上的橢圓、雙曲線的標準方程補充上即可．

解答：解：若橢圓、雙曲線的焦點在x軸上，則設橢圓、雙曲線的標準方程分別為

x2

a12

+

y2

b12

=1、

x2

a22

-

y2

b22

=1，
由題意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1 = a1 a2 = 7 3

解得a₁=7，a₂=3，b₁=6，b₂=2，
所以焦點在x軸上的橢圓、雙曲線的標準方程分別為

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1；
同理焦點在y軸上的橢圓、雙曲線的標準方程分別為

y2

49

+

x2

36

=1和

y2

9

-

x2

4

=1．

點評：本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程．