設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，都有an＞0，Sn=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
．
（1）求a1，a2的值．
（2）對于數(shù)列{an}，求證：a2n+1n≥a2nn+a2n-1n
（3）已知橢圓方程C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），數(shù)列{an}中的a2，a4分別是橢圓的短半軸長的平方和長半軸長的平方，過點P(
2
3
，-
1
3
)而不過點Q(
2
，1)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，記△QAB的面積為S，證明：S＜3．
考點：數(shù)列與解析幾何的綜合,數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由題意可知a1=S1=
a13
，求解得到a1=1，a1+a2=
a13+a23
，將a1=1代入a2=2．
（2）由，Sn=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
，得a13+a23++an3=（a1+a2++an）2，得an+12-an2=an+1+an，∴an+1-an=1．由此能夠?qū)С鯽n=n，求出a2n+1n，a2nn+a2n-1n，
由分析法結(jié)合二項式定理可知原不等式成立．
（3）首先證明三角形為直角三角形，然后分QA或QB的斜率不存在和斜率都存在時證明，當QA或QB的斜率不存在時直接求出三角形的面積，當斜率都存在時設(shè)出QA的方程，
和橢圓聯(lián)立后求得|QA|，再求出|QB|，代入面積公式后整理，然后換元，利用三角函數(shù)的有界性證得答案．
解答： （1）解：在Sn=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
中，
當n=1時，a1=S1=
a13
，即a12=a13，
∵a1＞0，∴a1=1，
當n=2時，(a1+a2)2=a12+a23，即1+2a2+a22=1+a23，
解得：a2=-1或a2=2．
∵a2＞0，∴a2=2；
證明：由Sn=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
，得
a13+a23+a33+…+an3=Sn2 ①，
當n≥2時，a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12 ②，
①-②得，an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1），
∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an ③，
∵a1=1適合上式．
當n≥2時，an-12=2Sn-1-an-1 ④，
③-④得：an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1．
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，可得an=n．
則a2n+1n=（2n+1）n，
a2nn+a2n-1n=（2n）n+（2n-1）n．
要證a2n+1n≥a2nn+a2n-1n，
只需證（1+(1+
1
2n
)n≥1+(1-
1
2n
)n，
只需證(1+
1
2n
)n-(1-
1
2n
)n≥1，
由于(1+
1
2n
)n-(1-
1
2n
)n=[
C
0
n
+
C
1
n
(
1
2n
)+
C
2
n
(
1
2n
)2+
C
3
n
(
1
2n
)3+…]-[
C
0
n
-
C
1
n
(
1
2n
)+
C
2
n
(
1
2n
)2-
C
3
n
(
1
2n
)3+…]
=2[
C
1
n
(
1
2n
)+
C
3
n
(
1
2n
)3+
C
5
n
(
1
2n
)5+…]
=1+2[
C
3
n
(
1
2n
)3+
C
5
n
(
1
2n
)5+…]≥1．
（3）證明：由（2）知，b2=a2=2，a2=a4=4，
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
當過點P(
2
3
，-
1
3
)的直線l的斜率不存在時，解得A（
2
3
，-
4
3
），B（
2
3
，
4
3
），
又點Q(
2
，1)，可得∠AQB=90°；
當過點P(
2
3
，-
1
3
)的直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+b，
∵P在直線上，得b=-
1
3
(
2
k+1)，
聯(lián)立直線方程和橢圓方程得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
4kb
2k2+1
，x1x2=
2b2-4
2k2+1
，
yy1+y2=k(x1+x2)+2b=
2b
2k2+1
，y1y2=
b2-4k2
2k2+1
．
QA
=(x1-
2
，y1-1)，
QB
=(x2-
2
，y2-1)，
則
QA
•
QB
=x1x2-
2
(x1+x2)+2+y1y2-(y1+y2)+1
=
2b2-4
2k2+1
-
2
(-
4kb
2k2+1
)+2+
b2-4k2
2k2+1
-
2b
2k2+1
+1=0．
∴∠AQB=90°．
則△AQB為直角三角形．
當QA或QB的斜率不存在時，求得S△AQB=2
2
＜3．
當QA，QB的斜率都存在時，不妨設(shè)QA：y=m(x-
2
)+1，代入橢圓方程得，
(2m2+1)x2-4m(
2
m-1)x+2(
2
m-1)2-4=0．
則|QA|=
m2+1
•
[
4m(
2
m-1)
2m2+1
]2-4
2(
2
m-1)2
2m2+1
=
m2+1
•
8
|
2
m+1|
2m2+1
．
同理求得|QB|=
m2+1
•
8
|
2
-m|
m2+2
．
∴S=
1
2
|QA|•|QB|=
1
2
m2+1
•
8
|
2
m+1|
2m2+1
•
m2+1
8
|
2
-m|
m2+2

=4
|
2
•
1-m2
m2+1
+
m
m2+1
|
2+(
m
m2+1
)2
．
令
1-m2
m2+1
=cosθ，
2m
m2+1
=sinθ，則S=
|
2
cosθ+
1
2
sinθ|
2+
1
4
sin2θ
．
由|
2
cosθ+
1
2
sinθ|=
2+
1
4
|sin(θ+α)|≤
2+
1
4
=
3
2
，
2+
1
4
sin2θ≥2，且“=”不同時取得，
∴S＜4×
3
2
2
=3．
綜上，S＜3．
點評：本題主要考查數(shù)列、不等式、二項式定理等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識，考查了學生的運算能力，是壓軸題．．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以下說法正確的是（　　）
A、正數(shù)的n次方根是正數(shù)
B、負數(shù)的n次方根是負數(shù)
C、0的n次方根是0（其中n＞1且n∈N*）
D、負數(shù)沒有n次方根

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平行四邊形ABCD中，|
AB
|=2，
AB
|
AB
|
+
AD
|
AD
|
=
3
AC
|
AC
|
，則平行四邊形ABCD的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

α，β是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定α∥β的是（　�。�
A、α，β都與平面γ垂直
B、α內(nèi)不共線的三點到β的距離相等
C、l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥β
D、l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤8}．
（1）求A∩B，A∪B，（∁UA）∩（∁UB）；
（2）若集合C={x|x＜a}，A⊆C，求a的取值范圍．（結(jié)果用區(qū)間或集合表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）滿足下列3個條件：
①f（x）的圖象過坐標原點；
②對于任意x∈R都有f(-
1
2
+x)=f(-
1
2
-x)成立；
③方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，令g（x）=f（x）-|λx-1|（其中λ＞0），
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間（直接寫出結(jié)果即可）；
（3）研究函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：0不是偶數(shù)，命題q：函數(shù)f（x）=log2x的圖象與函數(shù)f（x）=x2-4x+3的圖象有兩個交點，試寫出命題“p∨q”“p∧q”“￢p”，并判斷真假．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b滿足ab=1，且a＞b≥
2
3
，則
a-b
a2+b2
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y為正實數(shù)，且滿足2x2+8y2+xy=2，則x+2y的最大值是
 
．

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同步練習冊答案