Question

過(guò)雙曲線x²-y²=1的右頂點(diǎn)作直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（　�。�

• A、4條
• B、3條
• C、2條
• D、1條

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線必定與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線公共點(diǎn)也有且只有一個(gè)．由此結(jié)合直線方程與雙曲線方程的聯(lián)解加以驗(yàn)證，可得滿足條件的直線共有3條．

解答：解：設(shè)題中滿足條件的直線為l，
∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，可得右頂點(diǎn)為A（1，0）．
①當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直時(shí)，直線l與雙曲線x²-y²=1有唯一的公共點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2-y2=1

消去y，得（k²-1）x²-2k²x+k²+1=0，
∵直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴k²-1=0或△=0．
由于△=（-2k²）²-4（k²-1）（k²+1）=4＞0恒成立，
∴k²-1=0，得k=±1，相應(yīng)的直線l方程為y=x-1或y=1-x．
綜上所述，存在3條直線l，使得l經(jīng)過(guò)雙曲線x²-y²=1的右頂點(diǎn)作直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線方程，求經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)．著重考查了直線的方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．