Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，證明：當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）如果x₁，x₂∈（0，2），x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′（x）=1-=，
則f′（x）＜0時(shí)，0＜x＜1，當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＞1，
所以f（x）的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞）．
（Ⅱ）由題意知，g（x）=f（2-x）=2-x-ln（2-x），
令F（x）=f（x）-g（x）═2x-2-lnx+ln（2-x），
F′（x）=2--==．
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，即F（x）是減函數(shù)．
F（x）＜F（1）=0，
所以f（x）＜g（x）．
（Ⅲ）證明：（1）若（x₁-1）（x₂-1）=0，
由（Ⅰ）及f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂=1，與x₁≠x₂矛盾．
（2）若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由（Ⅰ）及f（x₁）=f（x₂），得x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾．
根據(jù)（1）（2）得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨設(shè)x₁1．
當(dāng)1＜x₂＜2時(shí)，由（Ⅱ）可知f（x₂）＜g（x₂），而g（x₂）=f（2-x₂），
所以f（x₂）＜f（2-x₂），從而f（x₁）＜f（2-x₂），因?yàn)閤₂＞1，所以2-x₂＜1，
又由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為減函數(shù)，所以x₁＞2-x₂，即x₁+x₂＞2．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）由對(duì)稱(chēng)關(guān)系求出g（x），構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)1＜x＜2時(shí)，F(xiàn)（x）＜0即可；
（Ⅲ）分（x₁-1）（x₂-1）=0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂-1）＜0三種情況討論，借助（Ⅰ）（Ⅱ）問(wèn)結(jié)論可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．