Question

17．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，值域為A，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f[g（t）]的值域仍是A，那么稱x=g（t）是函數(shù)y=f（x）的一個等值域變換．設(shè)f（x）=log₂x的定義域為[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{{m{t^2}-nt+m}}{{{t^2}+1}}（{m∈R，n∈{R_+}}）$是y=f（x）的一個等值變換，且函數(shù)y=f[g（t）]的定義域為R，則m=5，n=6．

Answer 1

分析 利用f（x）的定義域，求得值域，根據(jù)x的表達(dá)式，和t值域建立不等式，利用存在t₁，t₂∈R使兩個等號分別成立，求得m和n．

解答 接：f（x）=log₂x定義域為[2，8]，由y=log₂x，知1≤y≤3，
即f（x）=log₂x的值域為[1，3]，
因為x=g（t）是y=f（x）的一個等值域變換，且函數(shù)f（g（t））的定義域為R，
x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-nt+m}{{t}^{2}+1}$t∈R的值域為[2，8]，2≤$\frac{m{t}^{2}-nt+m}{{t}^{2}+1}$≤8，
∴2（t²+1）≤mt²-nt+m≤8（t²+1），⇒所以，恒有$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）{t}^{2}-nt+m-2≥0}\\{（m-8）{t}^{2}-nt+m-8≤0}\end{array}\right.$，
且存在t₁，t₂∈R使兩個等號分別成立
于是$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△}_{1}={n}^{2}-4（m-2）^{2}}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△}_{2}={n}^{2}-4（m-8）^{2}}\end{array}\right.$
 解得m=5，n=6                          
故答案為：5，6

點評 本題主要考查了新定義的理解和運用，主要函數(shù)值域的問題，利用已知條件演繹推理的能力和運算能力．綜合性較強，難度較大．