Question

在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進每個球的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可知X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，X～B（6，

2

3

），求概率可得分布列，可得期望；（Ⅱ）由題意可得P（A）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)4+

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)5+(

2

3

)5，計算可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6
由條件可知X～B（6，

2

3

），P（X=k）=

C

k 6

(

2

3

)k(

1

3

)6-k，（k=0，1，2，3，4，5，6）
故X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 729	12 729	60 729	160 729	240 729	192 729	64 729

故EX=0×

1

729

+1×

12

729

+2×

60

729

+3×

160

729

+4×

240

729

+5×

192

729

+6×

64

729

=

2916

729

=4
當然若只求期望不寫分布列可得EX=6×

2

3

=4；
（Ⅱ）設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，
包含恰好投進4個球，恰好投進5個球，恰好投進6個球，
故P（A）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)4+

C

1 4

(

1

3

)1(

2

3

)5+(

2

3

)5=

32

81

，
故教師甲在一場比賽中獲獎的概率為

32

81

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列即期望，以及獨立重復試驗的概率，屬中檔題．