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11.已知函數(shù)f(x)=x-alnx,當(dāng)x>1時,f(x)>0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(e,+∞)D.(-∞,e)

分析 由f(x)>0對x∈(1,+∞)上恒成立可分a≤1和a>1來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問題來求解.

解答 解:f′(x)=1-ax=xax
當(dāng)a≤1時,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
則f(x)是單調(diào)遞增的,
則f(x)>f(1)=1恒成立,則a≤2,
當(dāng)a>1時,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:1<x<a,
故f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,
所以只需f(x)min=f(a)=a-alna>0,解得:a<e,
綜上:a<e,
故選:D.

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題;考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問題,求參數(shù)的取值范圍,主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求解.

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