Question

已知f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的最值；   
（2）求f（x）的最小值；
（3）當(dāng)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，由f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最值．
（2）由于f（x）=（x+a）²+2-a² 的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-a，x∈[-5，5]，分類討論求得f（x）的最小值．
（3）當(dāng)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，則由-a≤-5，求得a的范圍；當(dāng)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，則由-a≥5，求得a的范圍，再把這兩個(gè)a的范圍取并集，即得所求．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，∵x∈[-5，5]，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值為1；當(dāng)x=-5時(shí)，f（x）取得最大值為37．
（2）由于f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-a，x∈[-5，5]，
∴當(dāng)-5≤-a≤5時(shí)，f（x）的最小值為2-a²；當(dāng)-a＜-5時(shí)，即a＞5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（-5）=27-10a；
當(dāng)-a＞5時(shí)，即a＜-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f（5）=27+10a．
故有f（x）_min=

2-a2，-5≤a≤5 27+10a，a＜-5 27-10a，a＞5

．
（3）當(dāng)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，則由-a≤-5，求得a≥5；
當(dāng)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，則由-a≥5，求得a≤-5，
故要求的a的范圍是{a|a≥5，或a≤-5}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．