Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ-2cosθ-4sinθ=0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程是

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，求|EA|+|EB|．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ-2cosθ-4sinθ=0，化為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；由直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是參數(shù)），把t=2x代入y=2+

3

2

t即可得出．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：t²-t-4=0．點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=0．設(shè)點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂．利用|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ-2cosθ-4sinθ=0，化為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ=0，
∴x²+y²-2x-4y=0；
由直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t是參數(shù)）化為y=

3

x+2．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：t²-t-4=0．
點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=0．設(shè)點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂．
則t₁+t₂=1，t₁t₂=-4．
∴|EA|+|EB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

1+16

=

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程極坐標(biāo)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．