Question

 

已知f(x)=x－ln(－x)，x∈[－e，0），，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)，∈R.

（1）若=－1，求f(x)的極值；             

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f´(x)= －1，

∴當(dāng)－e＜x＜－1時(shí)， f´(x)＜0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f´(x)＞0，

此時(shí)f(x) 單調(diào)遞增，∴f(x)的極小值為f(－1)=1．

（2）∵f(x)的極小值即f(x)在[－e，0)上的最小值為1，∴| f(x)|_min=1，

令h(x)=g(x)＋， 又∴h´(x)=，∴當(dāng)－e＜x＜0時(shí)， h´(x) ＜0，且h(x)在x=－e處連續(xù)

∴h(x)在[－e，0)上單調(diào)遞減，∴h(x)_max=h(－e)=

∴當(dāng)x[－e，0)時(shí)，

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)=x－ln(－x)有最小值3，[－e，0)， f´(x)=，

①當(dāng)≥時(shí)， 由于（－e，0)， 則f´(x)=a 且f(x) 在x=－e處連續(xù)

∴函數(shù)f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函數(shù)，∴f(x)_min=f(－e)= －ae－1=3，

解得a=（舍去）.

②當(dāng)＜時(shí)， 則當(dāng)－e＜x＜時(shí)，f´(x)= 此時(shí)f(x)=ax－ln(－x) 是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，f´(x)=a 此時(shí)f(x)=ax－ln(－x) 是增函數(shù)，

∴f(x)_min=f()=1－ln()=3，解得a=－e².

    由①、②知，存在實(shí)數(shù)a=－e²，使得當(dāng) [－e，0]，時(shí)f(x)有最小值3.