【題目】設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上．若（為原點），且，求證：直線的斜率與直線MN的斜率之積為定值．

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題意可得，運用離心率公式和，，的關系，可得，，進而得到所求橢圓方程;

(2)由題意設，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標，再求出的坐標，由，運用斜率之積為，可以得出的值，結合即可得結果.

(1)設橢圓的半焦距為，依題意，

又，

可得，，

所以橢圓的方程為.

(2)由題意設.

設直線的斜率為，

又，則直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立整理得，

可得，代入得，

進而直線的斜率.

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，化簡得.

∴.

所以直線與直線的斜率之積為定值.

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知A（﹣2，0），B ，M（x，y）是曲線C上的動點，且直線AM與BM的斜率之積等于.

（1）求曲線C方程；

（2）過D（2，0）的直線l（l與x軸不垂直）與曲線C交于E，F兩點，點F關于x軸的對稱點為F′，直線EF′與x軸交于點P，求△PEF的面積的取值范圍.

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（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長．

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（Ⅰ）求證：平面平面；

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【題目】如圖，拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點、、均在拋物線上.

（1）寫出該拋物線的方程及其準線方程；

（2）當與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值及直線的斜率.

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【題目】對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”

（1）若是向量組的“長向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知，，均是向量組的“長向量”，試探究，，的等量關系并加以證明．

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【題目】某大型工廠招聘到一大批新員工．為了解員工對工作的熟練程度，從中隨機抽取100人組成樣本，并統(tǒng)計他們的日加工零件數(shù)，得到以下數(shù)據(jù)；

(1)已知日加工零件數(shù)在范圍內(nèi)的5名員工中，有3名男工，2名女工，現(xiàn)從中任取兩名進行指導，求他們性別不同的概率；

(2)完成頻率分布直方圖，并估計全體新員工每天加工零件數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以中點值代替)；

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，，分別是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線所成角的正弦值.

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【題目】已知拋物線:的焦點為，準線為，與軸的交點為，點在拋物線上，過點作于點，如圖1.已知，且四邊形的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若正方形的三個頂點，，都在拋物線上（如圖2），求正方形面積的最小值.

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