Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

5

4

，且a_n+1=

1 2 an，n為偶數(shù) an+ 1 4 ，n為奇數(shù)

，記b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，c_n=nb_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知只要證明

bn+1

bn

為常數(shù)，即可證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，可求b_n，
（II）由（I）可得cn=nbn=n•

1

2n-1

，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和

解答：解（Ⅰ）∵bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn，(n∈N*)
所以{b_n}是首項(xiàng)為a1-

1

4

=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列
∴bn=

1

2n-1

（Ⅱ）∵cn=nbn=n•

1

2n-1

∴Sn=1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-2

+n×

1

2n-1

①
∴

1

2

Sn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

②
①-②得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

故Sn=2[

1-( 1 2 )n

1- 1 2

]-

n

2n-1

=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，及數(shù)列求和的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合性的應(yīng)用．