Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，且|F1F2|=2

2

，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=kx+m相交于不同的兩點M、N，又點A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用|F1F2|=2

2

，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．列出方程組求出a、b即可求得橢圓方程．
（2）當k=0時，直線和橢圓有兩交點只需-1＜m＜1；當k≠0時，設(shè)弦MN的中點為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用直線與橢圓有兩個不同的交點，得到△＞0，可得m²＜3k²+1，通過|AM|=|AN|，判斷AM⊥AN，得到2m=3k²+1，然后求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知，可得c=

2

，a=

3

b，
∵a²=b²+c²，∴a=

3

，b=1，
∴

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）當k=0時，直線和橢圓有兩交點只需-1＜m＜1；        …（5分）
當k≠0時，設(shè)弦MN的中點為P（x_p，y_p），x_M、x_N分別為點M、N的橫坐標，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，所以
∴△＞0，即m²＜3k²+1    ①…（7分）
x_p=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，從而y_p=kx_p+m=

mk

3k2+1

，kAP=

yp+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

  …（9分）
又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1 ②，…（10分）
將②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，
故所求的m取值范圍是(

1

2

，2)．…（12分）
∴當k≠0時，m的取值范圍是（

1

2

，2）．
當k=0時，m的取值范圍是（-1，1）…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求解范圍問題，一般通過含變量一個方程與一個不等式的關(guān)系求解．