Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|-ax，其中a＞0為常數(shù)．，試求函數(shù)f（x）存在最小值的充要條件，并求出相應(yīng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)可變?yōu)閒（x）=，運(yùn)用單調(diào)性據(jù)函數(shù)的形式判斷出-（1+a）＜0，結(jié)合a＞0得出答案．
解答：解：由條件得：f（x）=，（4分）
∵a＞0，
∴-（1+a）＜0，f（x）在（-∞，a）上是減函數(shù)．
如果函數(shù)f（x）存在最小值，
則f（x）在[a，+∞）上是增函數(shù)或常數(shù)．
∴1-a≥0，
得a≤1，
又a＞0，∴0＜a≤1．（5分）
反之，當(dāng)0＜a≤1時，
（1-a）≥0，∴f（x）在f[a，+∞）上是增函數(shù)或常數(shù)．
-（1+a）＜0，∴f（x）在（-∞，a）上是減函數(shù)．
∴f（x）存在最小值f（a）．
綜合上述f（x）存在最小值的充要條件是0＜a≤1，此時f（x）_min=-a²（3分）
點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，解不等式，分類討論的思想，注意根據(jù)函數(shù)的形式判斷出函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．難度較高．