Question

10個實習小組在顯微鏡下實測一塊矩形蕊片，測得其長為29μm，30μm，31μm的小組分別有3個，5個，2個，測得其寬為19μm，20μm，21μm的小組分別有3個，4個，3個，設測量中矩形蕊片的長與寬分別為隨機變量ξ和η，周長為μ．
（1）分別在下表中，填寫隨機變量ξ和η的分布律；
（2）求周長μ的分布律，并列表表示；
（3）求周長μ的期望值．

Answer 1

解：
（1）作出如圖的分布律表格即可

長度ζ（μm）	29	30	31
P	0.3	0.5	0.2

寬度η（μm）	19	20	21
P	0.3	0.4	0.3

（2）P（μ=96）=0.3×0.3=0.09；P（μ=98）=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27；P（μ=100）=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35；
P（μ=102）=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23；P（μ=104）=0.2×0.3=0.06．
周長分布列如下表所示

周長μ μm	96	98	100	102	104
P	0.09	0.27	0.35	0.28	0.06

（3）解法一：（利用周長的分布計算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8．
解法二：（利用矩形長與寬的期望計算）由長和寬的分布列可以算得
Eζ=29×P（ζ=29）+30×P（ζ=30）+31×P（ζ=31）=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9，
Eη=19×P（η=19）+20×P（η=20）+21×P（η=21）=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20．
由期望的性質可得Eμ=2（Eζ+Eη）=2×（29.9+20）=99.8．
分析：（1）由題設中數(shù)據(jù)，作出如圖的分布律表格即可
（2）計算出周長的值，并計算出相應的概率，列出分布列即可
（3）分布列根據(jù)求期望值的公式求出期望值，易求．列分布列的方法有二，
法一：列出周長的分布列求期望值；
法二：列出四邊形長的分布列求出長的期望值，再列四邊形寬的分布列，求出寬的期望值，由于周長期望值等于長與寬的期望值和的2倍，故得
點評：本題考查數(shù)據(jù)處理的能力，考查了分布列與根據(jù)分布列求求期望值，是概率知識的應用題，