Question

【題目】已知函數(shù).（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）若，求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分及討論即可得出結(jié)論；

（2）結(jié)合題意分析可知，由及可證，進(jìn)而得出結(jié)論．

解：（1）易知，

①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

函數(shù)無極值點(diǎn)，即此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

②若，易知函數(shù)的圖象與的圖象有唯一交點(diǎn)，，

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

函數(shù)有較小值點(diǎn)，即此時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，

存在為函數(shù)的極值點(diǎn)，

由（1）可知，，且，即，

兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，

要證，不妨考慮證，

又易知，

，即，

又，

，

，即，

，

．