(2009•成都二模)過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
的左焦點F(-c,0)(c>0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交拋物線y2=4cx于點P.若
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)
,則雙曲線的離心率為( �。�
分析:先設(shè)雙曲線的右焦點為F',則F'的坐標為(c,0),因為拋物線為y2=4cx,所以F'為拋物線的焦點,O為FF'的中點,又可得E為FP的中點,所以O(shè)E為△PFF'的中位線,得到|PF|=2b,再設(shè)P(x,y) 過點F作x軸的垂線,由勾股定理得出關(guān)于a,c的關(guān)系式,最后即可求得離心率.
解答:解:設(shè)雙曲線的右焦點為F',則F'的坐標為(c,0)
∵拋物線為y2=4cx,
∴F'為拋物線的焦點,O為FF'的中點,
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)

∴E為FP的中點
∴OE為△PFF'的中位線,
∵O為FF'的中點
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圓O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF,
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
設(shè)P(x,y),則x+c=2a,∴x=2a-c
過點F作x軸的垂線,則點P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2
∴4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2
∴e2-e-1=0
∵e>1
∴e=
5
+1
2

故選B.
點評:本題主要考查雙曲線的標準方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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