若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
2
，且OA⊥OB，求橢圓的方程．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax2+by2=1，
∴
x1+x2
2
=
b
a+b
，
y1+y2
2
=1-
x1+x2
2
=
a
a+b
．
∴M（
b
a+b
，
a
a+b
）．
∵kOM=
2
2
，∴b=
2
a．①
∵OA⊥OB，∴
y1
x1
•
y2
x2
=-1．
∴x1x2+y1y2=0．
∵x1x2=
b-1
a+b
，y1y2=（1-x1）（1-x2），
∴y1y2=1-（x1+x2）+x1x2
=1-
2b
a+b
+
b-1
a+b
=
a-1
a+b
．
∴
b-1
a+b
+
a-1
a+b
=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（
2
-1），b=2
2
（
2
-1）．
∴所求方程為2（
2
-1）x2+2
2
（
2
-1）y2=1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
2
，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
，又OA⊥OB，求a，b．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2
2
，又M為AB的中點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為
2
2
，求該橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：8.1 橢圓（解析版） 題型：解答題

若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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