Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=a，且an+1=k（an+an+2）對任意正整數(shù)n都成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn．

（1）若，且S2019=2019，求a；

（2）是否存在實數(shù)k，使數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項am，am+1，am+2按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由；

（3）若，求Sn．

Answer 1

【答案】(1) a=1；(2)存在滿足要求的實數(shù)k有且僅有一個；(3) Sn=

【解析】

（1）由題意求得首項為1，公差d=a-1，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式列方程可得a；

（2）假設(shè)存在滿足題意的實數(shù)k，分類討論可得k；

（3）k=，an+1=（an+an+2），an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，結(jié)合題意分類討論，然后分組求和可得Sn．

解：（1）k=，an+1=（an+an+2），

∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，

∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，

∴S2019=2019=2019+×（a-1），解得a=1；

（2）設(shè)數(shù)列{an}是公比不為1的等比數(shù)列，則它的公比q==a，

∴am=am-1，am+1=am，am+2=am+1，任意相鄰三項

am，am+1，am+2按某順序排列后成等差數(shù)列，

①an+1為等差中項，則2am+1=am+am+2．

即am-1+am+1=2am，解得a=1，不合題意；

②am為等差中項，則2am=am+1+am+2，

即2am-1=am+1+am，化簡a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；

③若am+2為等差中項，則2am+2=am+1+am，

即2am+1=am+am-1，化簡得：2a2-a-1=0，解得a=；

∴k====．

綜上可得，滿足要求的實數(shù)k有且僅有一個；

（3）k=，則an+1=（an+an+2），

∴an+2+an+1=（an+1+an），an+3+an+2=（an+2+an+1）=an+1+an，

當n是偶數(shù)時，Sn=a1+a2+…+an=（a1+a2）+…+（an-1+an）

=（a1+a2）=（a+1）．

當n是奇數(shù)時，Sn=a1+（a2+a3）+…+（an-1+an）

=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1（a+1）（n≥1），

n=1也適合上式，

綜上可得，Sn=．