Question

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出點(diǎn)N到AB和AP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，可得B、C、D、P、E各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可算出AC與PB所成角的余弦值；
（2）根據(jù)N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出x=且z=1，得N，即可得到側(cè)面PAB內(nèi)存在點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并可給出N點(diǎn)到AB和AP的距離．
解答：解：（1）以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示
可得、、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、，
從而．
設(shè)的夾角為θ，則
，
∴AC與PB所成角的余弦值為
（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），
則，
由NE⊥面PAC可得，，即
化簡(jiǎn)得，即，可得N點(diǎn)的坐標(biāo)為，
從而側(cè)面PAB內(nèi)存在點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，N點(diǎn)到AB和AP的距離分別為．
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的四棱錐中求異面直線所成角的余弦值，并探索側(cè)面PAB內(nèi)滿足NE⊥面PAC的點(diǎn)P位置，著重考查了空間向量的夾角公式、平面法向量的求法和利用空間向量研究空間位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．