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已知M(2cos2x,1),N (1,23
sinxcosx+a) (x,a∈R,a是常數(shù)),且y=OM
•ON
(O是坐標(biāo)原點(diǎn))
(Ⅰ)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f ( x );
(Ⅱ)若x∈[π 6
,π 2
]時(shí),f (x)的最小值為2,求a的值,并說(shuō)明f (x)(x∈R)的圖象可由 y=2sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.
分析:(Ⅰ)先求出OM
與ON
的坐標(biāo),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算OM
•ON
,就可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f ( x ).
(Ⅱ)因?yàn)閤∈[π 6
,π 2
],所以π 2
≤2x+π 6
≤7π 6
,再根據(jù)基本正弦函數(shù)的最值,就可求出當(dāng)x∈[π 6
,π 2
]時(shí),f (x)的最小值,又因?yàn)閒 (x)的最小值為2,可得a的值.再根據(jù)函數(shù)f(x)=2sin(2x+π 6
)+3的解析式與y=2sin2x的
解析式之間的關(guān)系,就可判斷f (x)的圖象可由 y=2sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到.解答:解:(Ⅰ)∵M(jìn)(2cos2x,1),N (1,23
sinxcosx+a),
∴OM
與ON
的坐標(biāo)分別為(2cos2x,1)和(1,23
sinxcosx+a),
∴y=OM
•ON
=2cos2 x+23
sinxcosx+a,
化簡(jiǎn)得f(x)=1+cos2x+3
sin2x+a
(Ⅱ)f(x)=1+cos2x+3
sin2x+a 化簡(jiǎn)得f(x)=2sin(2x+π 6
)+a+1
∵π 6
≤x≤π 2
,∴π 2
≤2x+π 6
≤7π 6
當(dāng)x=π 2
時(shí)f(x)取最小值a,故a=2,
∴f(x)=2sin(2x+π 6
)+3
將y=2sin2x圖象的每一點(diǎn)的向左平移π 12
個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,可得f(x)=2sin(2x+π 6
)+3的圖象.點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,利用三角公式化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)最值的計(jì)算,函數(shù)圖象的變換,屬于常規(guī)題.
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.
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