已知函數(shù)f(x)=x+
a2x
,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(I)若x=1是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的極值點,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)若對任意的x1∈[1,e],都存在x2∈[1,e](其中為e自然對數(shù)的底數(shù))使得f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由h(x)=2x+
a2
x
+lnx
,其定義域為(0,+∞),知h′(x)=2-
a2
x2
+
1
x
,
x∈(0,+∞)
,由x=1是函數(shù)h(x)的極值點,知3-a2=0,由此能求出a.
(Ⅱ)對任意的x1∈[1,e],都存在x2∈[1,e]使得f(x1)<g(x2)成立等價于f(x)max<g(x)max.當x∈[1,e]時,g′(x)=1+
1
x
>0
,故函數(shù)g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函數(shù),g(x)max=g(e)=e+1.由此能求出a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵h(x)=2x+
a2
x
+lnx
,其定義域為(0,+∞),…(1分)
h′(x)=2-
a2
x2
+
1
x
,
x∈(0,+∞)
…(2分)
∵x=1是函數(shù)h(x)的極值點,
∴h'(1)=0,即3-a2=0
∵a>0,∴a=
3
.                                          …(4分)
經(jīng)檢驗當a=
3
時,x=1是函數(shù)h(x)的極值點,
a=
3
…(5分)
(Ⅱ)對任意的x1∈[1,e],都存在x2∈[1,e]使得f(x1)<g(x2
成立等價于f(x)max<g(x)max…(6分)
當x∈[1,e]時,g′(x)=1+
1
x
>0

∴函數(shù)g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函數(shù),
∴g(x)max=g(e)=e+1…(7分)
f′(x)=1-
a2
x2
=
(x+a)(x-a)
x2
,x∈[1,e],a>0
①當0<a≤1時,x∈[1,e],f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
≥0
,
∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,e]上是增函數(shù),
f(x)max=f(e)=e+
a2
e
e+
a2
e
<e+1
即f(x)max<g(x)max恒成立,滿足題意;       …(9分)
②當1<a<e時,若1≤x<a,則f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
<0
,
若a<x≤e,則f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
>0

∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,a)上是減函數(shù),在(a,e]上是增函數(shù),
而f(1)=1+a2f(e)=e+
a2
e

a)f(1)<f(e)即1<a<
e
時,
f(x)max=f(e)=e+
a2
e
,e+
a2
e
<e+1
即f(x)max<g(x)max恒成立;
b)f(1)≥f(e)即
e
≤a≤e
時,
f(x)max=f(1)=1+a2
此時,f(x)max≥g(x)max,不合題意;               …(12分)
③當a≥e時,x∈[1,e],f′(x)=
(x+a)(x-a)
x2
≤0
,
∴函數(shù)f(x)=x+
a2
x
在[1,e]上是減函數(shù),
∴f(x)max=f(1)=1+a2
此時,f(x)max>g(x)max,不合題意;                    …(13分)
綜上知,a的取值范圍為(0,
e
)
.                             …(14分)
點評:本題考查利用導數(shù)求函數(shù)最的應(yīng)用,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
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-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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