Question

已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），若f（x）=•-．
（1）寫出函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），
∴•=cos²x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=sin（2x+）+
由此可得f（x）=•-=[sin（2x+）+]-=sin（2x+）
∵令2x+=+kπ（k∈Z），得x=+kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函數(shù)y=sin（2x+）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=
即函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+）
∵x∈[0，]，得2x+∈[，]
∴當(dāng)2x+=時(shí)，即x=時(shí)，f（x）有最大值為1；
當(dāng)2x+=時(shí)，即x=時(shí)，f（x）有最小值為-
因此，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的值域?yàn)閇-，1]．
分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合二倍角公式和輔助角公式化簡整理得f（x）=sin（2x+），再根據(jù)正弦函數(shù)圖象對(duì)稱軸方程的公式，即可得到函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+），而x∈[0，]時(shí)2x+∈[，]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到函數(shù)的最大值為f（）=1，最小值為f（）=-．由此即可得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量數(shù)量積為載體，求函數(shù)的值域和圖象的對(duì)稱軸方程．著重考查了向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．