Question

祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國南北朝杰出的數(shù)學家、祖沖之的兒子祖暅首先提出來的. 祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的平面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等. 可以用詩句“兩個胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積，兩人必然同樣胖”形象表示其內涵. 利用祖暅原理可以推導幾何體的體積公式，關鍵是要構造一個參照體.

試用祖暅原理推導球的體積公式.

Answer 1

解：我們先推導半球的體積. 為了計算半徑為R的半球的體積，我們先觀察、、這三個量（等底等高）之間的不等關系，可以發(fā)現(xiàn)<<，即，根據(jù)這一不等關系，我們可以猜測，并且由猜測可發(fā)現(xiàn).

下面進一步驗證了猜想的可靠性. 關鍵是要構造一個參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內挖去一個圓錐構造出，如右圖所示. 下面利用祖暅原理證明猜想.

證明：用平行于平面α的任意一個平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面. 如果截平面與平面α的距離為，那么圓面半徑，圓環(huán)面的大圓半徑為R，小圓半徑為r.

因此，， ∴  .

根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等，即，

所以.