Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC₁、AB、BC的中點．且CC₁=

2

AC
（1）求證：CN∥面AMB₁
（2）求證：B₁M⊥面AMG
（3）求：VAMBG：VABC-A1B1C1．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AB₁的中點為P，連結(jié)NP、MP，由已知得CNPM是平行四邊形，由此能證明CN∥平面AMB₁．
（2）由已知得平面CC₁B₁B⊥平面ABC，從而B₁M⊥AG，進而CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁，由此能證明B₁M⊥面AMG．
（3）由VABC-A1B1C1=SABC•CC1=2

6

a3，VAMB1G=VA-MGB1，能求出VAMBG：VABC-A1B1C1．

解答： （1）證明：設(shè)AB₁的中點為P，連結(jié)NP、MP…（1分）
∵CM

∥

.

1

2

AA₁，NP

∥

.

1

2

AA₁，∴CM

∥

.

NP，…（2分）
∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）證明：∵CC₁⊥平面ABC，
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（5分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁
設(shè)：AC=2a，則CC₁=2

2

a
在Rt△MCG中，MG=

CM2+CG2

=

3

a，
同理，B₁M=

6

a
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∴B₁G=

B1B2+BG2

=3a，
∴MG²+B₁M²=B1G2，∴B₁M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B₁M⊥平面AMG..…（8分）
（3）解：VABC-A1B1C1=SABC•CC1=2

6

a3…（9分）

VAMB1G=VA-MGB1= 1 3 SMGB1•AG= 1 3 • 1 2 •MG•MB1•AG = 1 3 • 1 2 • 3 a• 6 a• 3 a= 6 2 a3…(10分)

∴VAMB1G：VABC-A1B1C1=1：4．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查兩個幾何體的體積比的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．