Question

（09年萊西一中模擬理）（14分）已知點(diǎn)H（－3，0），點(diǎn)P在軸上，點(diǎn)Q在軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足， .

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；

（Ⅱ）過定點(diǎn)作直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求證：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè),

且,      …………………2分

                   …………………3分

.                 ………………………………………………4分

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以O(shè)（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線（除去原點(diǎn)）.

　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，根據(jù)拋物線的對稱性，有；

                                                         ……………6分

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，依題意，可設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

 

消去并整理，得

,

.   ……………7分

設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

.  …………………9分

,

,

，

.

綜合（1）、（2）可知.  …………………10分

解法二：依題意，設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組:

消去并整理，得

,

. ……………7分

設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

.  …………………9分

,

,

，

.       　……………………………………………………10分

（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點(diǎn)為，與AD為直徑的圓相交于點(diǎn)F、G，FG的中點(diǎn)為H，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

,

,

 .                  …………………………12分

,

令，得

此時(shí)，.

∴當(dāng)，即時(shí)，（定值）.

∴當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線存在，其方程為；當(dāng)時(shí)，滿足條件的直線不存在.