Question

已知函數(shù)f(x)＝－x3＋x2－2x(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和；(2) ；(3)

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間令導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間。(2) 對(duì)于任意都有成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意都有。求時(shí)可根據(jù)求導(dǎo)求單調(diào)性求最值，也可直接根據(jù)二次函數(shù)問(wèn)題求其單調(diào)區(qū)間再求其最值。(3)先在曲線上任取一點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求其過(guò)此點(diǎn)的切線的斜率，再用點(diǎn)斜式求切線方程。將代入直線方程。分析可知此方程應(yīng)有3個(gè)不同的解。將上式命名新函數(shù)，用單調(diào)性求此函數(shù)的極值點(diǎn)可知一個(gè)極值應(yīng)大于0，另一個(gè)極值應(yīng)小于0.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

得． 1分

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 2分

當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 3分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和 ．4分

(2)由，得， 5分

因?yàn)閷?duì)于任意都有成立，

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意都有． 6分

因?yàn)?/span>，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為.

①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以，

由，得，此時(shí). 7分

②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

由，得，此時(shí). 8分

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 9分

(3)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)，

則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率， 10分

所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為， 11分

因?yàn)辄c(diǎn)在該切線上，

所以，

即.

若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，

則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解． 12分

令，則函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

令，解得或.

因?yàn)?/span>，， 13分

所以必須，即.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 14分

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性；3用單調(diào)性求極值、最值。