Question

函數(shù)y=

2x2-x+2

x2+x+1

的值域是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用分離常數(shù)法化簡函數(shù)解析式，對x分類討論，由基本不等式求出函數(shù)值的取值范圍，最后再并在一起．

解答： 解：由題意得，y=

2x2-x+2

x2+x+1

=

2(x2+x+1)-3x

x2+x+1

=2-

3x

x2+x+1

，
當(dāng)x=0時，y=2，
當(dāng)x≠0時，y=2-

3

x+ 1 x +1

，
因為當(dāng)x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

x

時取等號，
所以0＜

3

x+ 1 x +1

≤

3

2

，

1

2

≤2-

3

x+ 1 x +1

＜2，即y∈[

1

2

，2），
當(dāng)x＜0時，-x-

1

x

≥2

(-x)•(- 1 x )

=2，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-

1

x

時取等號，
所以x+

1

x

≤-2，則-3≤

3

x+ 1 x +1

＜0，2＜2-

3

x+ 1 x +1

≤5，即y∈（2，5]，
綜上得，函數(shù)的值域是[

1

2

，5]，
故答案為：[

1

2

，5]．

點評：本題考查分離常數(shù)法化簡函數(shù)解析式，基本不等式，以及分類討論思想，屬于中檔題．