Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P（2，

3

）在直線x=

a2

b

上，線段PF₁的垂直平分線經(jīng)過點F₂．直線y=kx+m與橢圓E交于不同的兩點A，B，且橢圓E上存在點M，使

OA

+

OB

=λ

OM

，其中O是坐標(biāo)原點，λ是實數(shù)．
（1）求λ的取值范圍；
（2）當(dāng)λ取何值時，△ABO的面積最大？最大面積等于多少？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)題意得

b2 a =2 |F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程，由

y=kx+m x2+2y2=2

，得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)λ的取值范圍．
（2）當(dāng)λ=0時，m=0，此時A，B，O三點在一條直線上，不構(gòu)成△ABO，為使△ABO的面積最大，λ≠0，利用橢圓弦長公式和點到直線的距離公式求出△AOB的面積S=

1

2

|AB|•d=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

，由此求出λ=±

2

時，△ABO的面積最大面積為

2

2

．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，根據(jù)題意得：

b2 a =2 |F1F2|2=(2c)2=|PF2|2=(2-c)2+3 a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=1，c=1，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1，
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得 （1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
根據(jù)已知得關(guān)于x的方程（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，
化簡，得1+2k²＞m²，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
①當(dāng)λ=0時，點A，B關(guān)于原點對稱，m=0，滿足題意；
②當(dāng)λ≠0時，點A，B關(guān)于原點不對稱，m≠0，
由

OA

+

OB

=λ

OM

，得

xM= 1 λ (x1+x2) yM= 1 λ (y1+y2)

，即

xM= -4km λ(1+2k2) yM= 2m λ(1+2k2)

，
∵M在橢圓E是，
∴

1

2

[

-4km

λ(1+2k2)

]²+[

2m

λ(1+2k2)

]²=1，
化簡，得4m²=λ²（1+2k²），
∵1+2k²＞m²，∴4m²＞λ²m²
∵m≠0，∴λ²＜4，即-2＜λ＜2，且λ≠0，
綜合①②兩種情況，得實數(shù)λ的取值范圍是（-2，2）．
（2）當(dāng)λ=0時，m=0，此時A，B，O三點在一條直線上，不構(gòu)成△ABO，
為使△ABO的面積最大，λ≠0，
∵

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，
=

2 2 1+k2 • 1+2k2-m2

1+2k2

，
∵原點O到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴△AOB的面積S=

1

2

|AB|•d=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

，
∵4m²=λ²（1+2k²），λ≠0，∴1+2k2=

4m2

λ2

，
∴S=

2 |m| 4m2 λ2 -m2

4m2 λ2

=

2 λ2 4 λ2 -1

4

=

2 • 4λ2-λ4

4

=

2

4

λ2(4-λ2)

，
∵

λ2(4-λ2)

≤

λ2+4-λ2

2

=2，
∴S≤

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)λ=±

2

時，等號成立，
∴λ=±

2

時，△ABO的面積最大，最大面積為

2

2

．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要注意橢圓弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．