Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和；數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積為T(mén)_n，且
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式
（2）是否存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：（1）由題知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減即得
a_n+2-a_n=4，即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n為奇數(shù)時(shí)，；…（2分）
n為偶數(shù)時(shí)，．…（3分）
∴n∈N₊，a_n=2n-1…（4分）
又當(dāng)n=1時(shí) ，
n≥2時(shí)
∴n∈N₊，…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列
∴
∴，，
若存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列，則（S_n-a）+（S_n+2-a）=2（S_n+1-a）在n∈N₊時(shí)恒成立
即n²-a+（n+2）²-a=2（（n+1）²-a）化簡(jiǎn)得：4=2，矛盾
故常數(shù)a不存在 …（10分）
（3）由（2）知
∴
==…（13分）
分析：（1）由題知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），兩式相減即得a_n+2-a_n=4，即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列，分類(lèi)可求；（2）先求得，假設(shè)存在a，由此展開(kāi)退理得矛盾；（3）由（2）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法可求和．
點(diǎn)評(píng)：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及裂項(xiàng)相消法求和以及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．