Question

三角形ABC的邊AC，AB的高所在直線方程分別為2x-3y+1=0，x+y=0，頂點(diǎn)A（1，2），求BC邊所在的直線方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，直線AB是經(jīng)過A（1，2）且與直線x+y=0垂直的直線，算出AB方程為y=x+1，從而得到B的坐標(biāo)（-2，-1）．算出兩條高的交點(diǎn)H（-

1

5

，

1

5

）即為三角形的垂心，從而由直線AH的斜率得到BC的斜率，最后利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，即可得到BC邊所在的直線方程．

解答：解：∵頂點(diǎn)A（1，2），AB的高所在直線方程x+y=0，
∴直線AB的斜率為1，得直線方程為y-2=（x-1），即y=x+1
因此，求得邊AC的高所在直線與AB的交點(diǎn)得B（-2，-1）
∵直線2x-3y+1=0，x+y=0交于點(diǎn)（-

1

5

，

1

5

）
∴邊AC，AB的高交于點(diǎn)H（-

1

5

，

1

5

），可得H為三角形ABC的垂心
∵BC是經(jīng)過B點(diǎn)且與AH垂直的直線，k_AH=

2- 1 5

1+ 1 5

=

3

2

，
∴直線BC的斜率k=

-1

kAH

=-

2

3

可得BC方程為y+2=-

2

3

（x+1），化簡(jiǎn)得2x+3y+7=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的兩條高所在直線，在已知第三個(gè)頂點(diǎn)的情況下BC邊所在直線方程，著重考查了直線的方程和直線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．