Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓過M（1，），N（-，）兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上是否存在點P（x，y）到定點A（a，0）（其中0＜a＜3）的距離的最小值為1，若存在，求出a的值及點P的坐標；若不存在，請給予證明．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵橢圓過M，N兩點
∴?，即橢圓方程為+=1．
（2）設(shè)存在點P（x，y）滿足題設(shè)條件，由+=1，得y²=4（1-）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1-）=（x-a）²+4-a²（|x|≤3），
當||≤3即0＜a≤時，|AP|²的最小值為4-a²
∴4-a²=1?a=±∉（0，]
∴a＞3即＜a＜3，此時當x=3時，|AP|²的最小值為（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此時點P的坐標是（3，0）
故當a=2時，存在這樣的點P滿足條件，P點的坐標是（3，0）．
分析：（1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由橢圓過M，N兩點得，求出m，n后就得到橢圓的方程．
（2）設(shè)存在點P（x，y）滿足題設(shè)條件，由+=1，得y²=4（1-），結(jié)合題設(shè)條件能夠推導出|AP|²=（x-a）²+4-a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及點P的坐標．
點評：本題綜合考查橢圓的直線的位置關(guān)系，在解題時要注意培養(yǎng)計算能力和靈活運用公式的能力．