Question

若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常數(shù)a，b滿足a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是

 

．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．

Answer 1

分析：構(gòu)造g（x）=

f(x)

x

（x＞0），求導(dǎo)數(shù)g′（x），利用利用導(dǎo)數(shù)判定g（x）的單調(diào)性，可以得出結(jié)論．

解答：解：令g（x）=

f(x)

x

（x＞0），則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

（x＞0）；
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即

f(a)

a

＞

f(b)

b

；
∴bf（a）＞af（b）．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)來解題的方法，是易錯(cuò)題．