設(shè)F1,F(xiàn)2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦點,P為雙曲線右支上任一點,當
|PF1|2
|PF2|
最小值為8a時,該雙曲線離心率e的取值范圍是
 
分析:由定義知:|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+|PF1|,∴
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|
=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a

當且僅當
4a2
|PF1|
=|PF1|
,即||PF1|=2a時取得等號.然后利用焦半徑公式可以導出該雙曲線離心率e的取值范圍.
解答:解:由定義知:|PF2|-|PF1|=2a,
∴|PF2|=2a+|PF1|,
|PF2|2
|PF1|
=
(2a+|PF1|)2
|PF1|
=
4a2
|PF1|
+4a+|PF1| ≥8a

當且僅當
4a2
|PF1|
=|PF1|
,即||PF1|=2a時取得等號.
設(shè)P(x0,y0),(x0≤-a)
依焦半徑公式得:|PF1|=-e×x0-a=2a,
e•x0=-3a,∴e=-
3a
x0
≤3

又∵e>1,故e∈(1,3]
答案:(1,3].
點評:本題考查雙曲線的定義、焦半徑、離心率、均值不等式,解題時要注意公式的合理選用.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的兩個焦點,若F1,F(xiàn)2,P(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為( 。
A、
3
2
B、2
C、
5
2
D、3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)F1、F2為雙曲線
x2
sin2θ
-
y2
b2
=1(0<θ≤
π
2
,b>0)的兩個焦點,過F1的直線交雙曲線的同支于A、B兩點,如果|AB|=m,則△AF2B的周長的最大值是( 。
A、4-mB、4
C、4+mD、4+2m

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的兩個焦點,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為
2
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓,恰好過正方形四邊的中點,則該橢圓的離心率為
10
-
2
2
10
-
2
2
;設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的兩個焦點,若F1,F(xiàn)2,P(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為
2
2
;經(jīng)過拋物線y=
1
4
x2
的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若y1+y2=5,則線段AB的長等于
7
7

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)F1、F2為雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線右支上任一點,若
PF12PF2
的最小值恰是實軸長的4倍,則該雙曲線離心率的取值范圍是
(1,3]
(1,3]

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