已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x

(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

(II)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0,使得f(x0)=x0,求函數(shù)f(x)的解析表達式.

答案:
解析:

  (I)因為對任意,

  所以,又,從而  2分

  若,則,即      4分

  (II)因為對任意,有又有且僅有一個實數(shù),使得,故對任意,有         6分

  在上式中令,有           8分

  又因為,所以,故      10分

  若,則,但方程有兩個不相同實根,與題設(shè)條件矛盾,故

  若,則有,易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件.

  綜上,所求函數(shù)的解析表達式為      12分


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(2010•石家莊二模)已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù),則( �。�

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已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(4,+∞)上為減函數(shù),且函數(shù)y=f(x)的對稱軸為x=4,則( �。�

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已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點,求實數(shù)b的取值范圍.

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