Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b在x=1處有極小值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)在[0，2]只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依題意有，…（3分）
解得，…（4分）
此時(shí)f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，滿足f（x）在x=1處取極小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴…（6分）
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)（符合），…（8分）
當(dāng)m≠0時(shí)，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2個(gè)相等實(shí)根，即函數(shù)g（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)．
則，得…（10分）
②若g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，1個(gè)在[0，2]內(nèi)，另1個(gè)在[0，2]外，
則g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得，或m≥3…（12分）
經(jīng)檢驗(yàn)m=3有2個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意．
綜上：m的取值范圍是，或，或m＞3…（14分）
分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)f'（x）=3x²-3a，利用函數(shù)f（x）=x³-3ax+b在x=1處有極小值2，可得，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ），再進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=-2x+3，g（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，①若方程g（x）=0在[0，2]上有2個(gè)相等實(shí)根，即函數(shù)g（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)；②若g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，1個(gè)在[0，2]內(nèi)，另1個(gè)在[0，2]外，從而可求m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．