Question

10．將函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x+1的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則下列關(guān)予函數(shù)y=g（x）的說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 函數(shù)y=g（x）的最小正周期為π
• B． 函數(shù)y=g（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=$\frac{π}{8}$
• C． ${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$g（x）dx=$\sqrt{2}$
• D． 函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{8}$]上單調(diào)遞減

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦函數(shù)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．

解答 解：把f（x）=$\sqrt{2}$sin2x-$\sqrt{2}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，
得到函數(shù)y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]+1=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1的圖象，
再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
對(duì)于A，由于T=$\frac{2π}{2}=π$，故正確；
對(duì)于B，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z，可得：當(dāng)k=0時(shí)，y=g（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=$\frac{π}{8}$，故正確；
對(duì)于C，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$g（x）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2sin（2x+$\frac{π}{4}$）dx=-cos（2x+$\frac{π}{4}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{5π}{4}$-cos$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，故正確；
對(duì)于D，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z，可得函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．