Question

設(shè)P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q（0，-4），則|PQ|的最大值為

8

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），由橢圓的方程結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)得PQ|²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和y∈[-4，4]，可得當(dāng)y=4時(shí)，|PQ|²=的最大值為64，從而得到|PQ|的最大值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則|PQ|²=x²+（y+4）²
∵點(diǎn)P（x，y）在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上
∴x²=25（1-

y2

16

），可得
|PQ|²=（25-

25y2

16

）+（y+4）²=-

9

16

（y-

64

9

）²+

625

9

∵橢圓上點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y∈[-4，4]
∴當(dāng)y=4時(shí)，|PQ|²=的最大值為64，由此可得|PQ|的最大值為8
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P，求P到定點(diǎn)（0，-4）的距離最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．