Question

已知f（x）=x⁴-2ax²，若|f′（x）|≤1在區(qū)間[0，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值集合為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意判斷 a＞0，由|f′（x）|≤1恒成立，可得a≤x² + 恒成立，且 a≥x² - 恒成立．令h（x）=x² +，t（x）=x² -，則a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值，求出h（x）的最小值和t（x）的最大值，即可得到實數(shù)a的取值集合．
解答：解：∵f（x）=x⁴-2ax²，∴f′（x）=4x³-4ax=4x（x²-a）．
∵當x∈[0，1]時，|f′（x）|≤1，
當a≤0時，|f′（x）|=4x（x²-a），在[0，1]上是增函數(shù)，f′（0）=0，f′（1）=4（1-a）≤1，此時，a 無解．
故 a＞0．
由|f′（x）|≤1恒成立，可得-1≤f′（x）|≤1，即-1≤4x（x²-a）≤1．
化簡可得-≤x²-a≤，∴a≤x² + 恒成立，且 a≥x² - 恒成立．
令h（x）=x² +，t（x）=x² -．
則a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值．
由h（x）=x² +=x² ++≥3=3，當且僅當 x²=，即 x=時，等號成立．
∴a≤3 ①．
由于 t（x）=x² - 在[0，1]上是增函數(shù)，故t（x）的最大值為 t（1）=，∴a≥ ②．
由①②可得實數(shù)a的取值集合為{a|≤a≤3 }，
故答案為 {a|≤a≤3 }．
點評：本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．